FUNCIONES POLINÓMICAS O POLINOMIALES Una función polinomial es la que puede escribirse en la forma
donde n es un entero no negativo y los números na, n1, n2...son constantes llamadas coeficientes del polinomio, siendo na el coeficiente principal o dominante y el grado de f (x) es n.
MODELO GRÁFICO
Se puede determinar qué ocurre en la gráfica a partir del
grado de la función (par o impar) y del signo del coeficiente dominante o
coeficiente principal na , como se puede observar en las siguientes gráficas.
Generalmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo.
Considere la función polinomial f ( x ) = x 3 + 6 x 2 - x - 30. Divida el polinomio f ( x ) entre el binomio x + 3.
Observe que, el residuo es 0.
Cuando Usted divide un polinomio entre uno de sus factores binomio, el cociente es llamado un polinomio reducido.
Aquí el cociente o polinomio reducido es x 2 + 3 x - 10.
De los resultados de la división y usando el teorema del residuo , podemos escribir el enunciado siguiente.
x 3 + 6 x 2 - x - 30 = ( x 2 + 3 x - 10)( x + 3) + 0.
Ya que el residuo es 0, el valor de la función en -3 es 0 o f (-3) = 0. Esto significa que el binomio x + 3 es un factor de la función polinomial f ( x ) = x 3 + 6 x 2 - x - 30.
Esto ilustra el teorema del factor.
Un polinomio f ( x ) tiene un factor ( x - k ) si y solo si f ( k ) = 0 donde f ( x ) es un polinomio de grado y k es cualquier número real https://www.youtube.com/watch?v=l6N9pj4s5QM
Método de división sintética
Sea P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 el polinomio que deseamos dividir y d(x)=x-c el divisor. Para dividir por el método de división sintética procedemos de la siguiente manera:
1- Escribimos los coeficientes de P(x) en la primera fila. Si alguna potencia de X no aparece, colocamos cero como su coeficiente.
2- En la segunda fila, a la izquierda de an colocamos c, y trazamos líneas de división tal como muestra en la siguiente figura:
3- Bajamos el coeficiente líder hasta la tercera fila.
En esta expresión bn-1= an
En esta expresión bn-1= an
4- Multiplicamos c por el coeficiente líder bn-1 y el resultado lo escribimos en la segunda fila, pero una columna a la derecha.
5- Sumamos la columna donde escribimos el resultado anterior y el resultado lo colocamos debajo de dicha suma; es decir, en la misma columna, tercera fila.
Al sumar, tenemos como resultado an-1+c*bn-1, al cual por comodidad llamaremos bn-2
6- Multiplicamos c por el resultado anterior y escribimos el resultado a su derecha en la segunda fila.
7- Repetimos el paso 5 y 6 hasta llegar al coeficiente a0
8- Escribimos la respuesta; es decir, el cociente y el residuo. Como estamos efectuando la división de un polinomio de grado n entre un polinomio de grado 1, tenemos que el cociente seria de grado n-1.
Los coeficientes del polinomio cociente serán los números de la tercera fila excepto el último, el cual será el polinomio residuo o resto de la división.
Realizar la siguiente división por el método de división sintética:
(x5+3x4-7x3+2x2-8x+1) : (x+1).
TRATAMIENTOS DE MÍNIMOS Y MÁXIMOS
Valor máximo relativo:
Se dice que la función f tiene un valor máximo relativo en un punto c, si c pertenece a (a, b), tal que f(c) >= f(x) para todo x perteneciente a (a, b). El valor máximo relativo de f en (a, b) es d = f(c).
Valor mínimo relativo
Se dice que la función f tiene un valor mínimo relativo en un punto c, si c pertenece a (a, b), tal que f(c) <= f(x) para todo x perteneciente a (a, b). El valor mínimo relativo de f en (a, b) es d = f(c).
Aplicación a la identificación de máximos y mínimos:
Si f'(x0) = 0 y existe f''(x0), entonces:
f''(x0) > 0 => f tiene un mínimo relativo en x0.
f''(x0) < 0 => f tiene un máximo relativo en x0.
Cálculo de máximos y mínimos relativos de una función f(x) en un intervalo [a, b]:
Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
Realizamos las segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de la derivada primera, y si:
f''(a) < 0 es un máximo relativo
f''(a) > 0 es un mínimo relativo
Se comprueba si el punto inicial del intervalo "a" y el punto final del mismo "b", son máximos o mínimos relativos.
Si hay algún punto de [a, b] en el que la función no sea derivable, aunque sí continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo.
Si f no es continua en algún punto x0 de [a, b], estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x0.
Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan. Dominio: Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio. El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el eje de las Y . Codominio y rango: El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo. El codominio es el conjunto de valores que podrían salir. El rango es el conjunto de valores que realmente salen. Ejemplo: puedes definir una función
Bloque II FUNCIÓNES POLINOMIALES Modelo algebraico general de funciones polinomiales Función lineal la noción de función tiene diversos usos. En esta ocasión, nos vamos a centrar en la función matemática : la relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna solo un elemento del segundo conjunto, o ninguno. Con esto en claro, podemos avanzar en la idea de función lineal . Así se denomina a la función matemática compuesta por variables de primer grado . Cabe destacar que una variable es una magnitud que, en el marco de un cierto conjunto, puede adoptar cualquiera de los valores posibles. Las funciones lineales se representan con una línea recta en el plano cartesiano . Es importante tener en cuenta que lo que hacen las funciones, en definitiva, es expresar una relación entre variables , pudiéndose desarrollar modelos matemáticos que representen este vínculo. Modelo grafico La ordenada al ori
Bloque VI Funciones trascendentes Función exponencial En matemáticas , una función exponencial es una función de la forma. {\displaystyle f(x)=ab^{x}} en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma {\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}} también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como Funciones exponenciales video: https://www.youtube.com/watch?v=Atf1UtHR7uw Función algorítmica En estas funciones, a es la base, que tiene que ser positiva y diferente de 1 . La forma oficial de leer esta ecuación es la siguiente: «la función de x es igual al logaritmo base a de x». Cabe mencionar que también podría expresarse sin el uso de la expresión f(x) , sino con una variable tal como y , ya que de este modo podríamos reflejar con mayor claridad que el resultado es un elemento diferente, de otro conjunto . Es importante mencionar que la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial : aquella que s
1- Escribimos los coeficientes de P(x) en la primera fila. Si alguna potencia de X no aparece, colocamos cero como su coeficiente.
3- Bajamos el coeficiente líder hasta la tercera fila.
Los coeficientes del polinomio cociente serán los números de la tercera fila excepto el último, el cual será el polinomio residuo o resto de la división.
Comentarios
Publicar un comentario