FUNCIONES POLINÓMICAS O POLINOMIALES Una función polinomial es la que puede escribirse en la forma
donde n es un entero no negativo y los números na, n1, n2...son constantes llamadas coeficientes del polinomio, siendo na el coeficiente principal o dominante y el grado de f (x) es n.
MODELO GRÁFICO
Se puede determinar qué ocurre en la gráfica a partir del
grado de la función (par o impar) y del signo del coeficiente dominante o
coeficiente principal na , como se puede observar en las siguientes gráficas.
Generalmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo.
Considere la función polinomial f ( x ) = x 3 + 6 x 2 - x - 30. Divida el polinomio f ( x ) entre el binomio x + 3.
Observe que, el residuo es 0.
Cuando Usted divide un polinomio entre uno de sus factores binomio, el cociente es llamado un polinomio reducido.
Aquí el cociente o polinomio reducido es x 2 + 3 x - 10.
De los resultados de la división y usando el teorema del residuo , podemos escribir el enunciado siguiente.
x 3 + 6 x 2 - x - 30 = ( x 2 + 3 x - 10)( x + 3) + 0.
Ya que el residuo es 0, el valor de la función en -3 es 0 o f (-3) = 0. Esto significa que el binomio x + 3 es un factor de la función polinomial f ( x ) = x 3 + 6 x 2 - x - 30.
Esto ilustra el teorema del factor.
Un polinomio f ( x ) tiene un factor ( x - k ) si y solo si f ( k ) = 0 donde f ( x ) es un polinomio de grado y k es cualquier número real https://www.youtube.com/watch?v=l6N9pj4s5QM
Método de división sintética
Sea P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 el polinomio que deseamos dividir y d(x)=x-c el divisor. Para dividir por el método de división sintética procedemos de la siguiente manera:
1- Escribimos los coeficientes de P(x) en la primera fila. Si alguna potencia de X no aparece, colocamos cero como su coeficiente.
2- En la segunda fila, a la izquierda de an colocamos c, y trazamos líneas de división tal como muestra en la siguiente figura:
3- Bajamos el coeficiente líder hasta la tercera fila.
En esta expresión bn-1= an
En esta expresión bn-1= an
4- Multiplicamos c por el coeficiente líder bn-1 y el resultado lo escribimos en la segunda fila, pero una columna a la derecha.
5- Sumamos la columna donde escribimos el resultado anterior y el resultado lo colocamos debajo de dicha suma; es decir, en la misma columna, tercera fila.
Al sumar, tenemos como resultado an-1+c*bn-1, al cual por comodidad llamaremos bn-2
6- Multiplicamos c por el resultado anterior y escribimos el resultado a su derecha en la segunda fila.
7- Repetimos el paso 5 y 6 hasta llegar al coeficiente a0
8- Escribimos la respuesta; es decir, el cociente y el residuo. Como estamos efectuando la división de un polinomio de grado n entre un polinomio de grado 1, tenemos que el cociente seria de grado n-1.
Los coeficientes del polinomio cociente serán los números de la tercera fila excepto el último, el cual será el polinomio residuo o resto de la división.
Realizar la siguiente división por el método de división sintética:
(x5+3x4-7x3+2x2-8x+1) : (x+1).
TRATAMIENTOS DE MÍNIMOS Y MÁXIMOS
Valor máximo relativo:
Se dice que la función f tiene un valor máximo relativo en un punto c, si c pertenece a (a, b), tal que f(c) >= f(x) para todo x perteneciente a (a, b). El valor máximo relativo de f en (a, b) es d = f(c).
Valor mínimo relativo
Se dice que la función f tiene un valor mínimo relativo en un punto c, si c pertenece a (a, b), tal que f(c) <= f(x) para todo x perteneciente a (a, b). El valor mínimo relativo de f en (a, b) es d = f(c).
Aplicación a la identificación de máximos y mínimos:
Si f'(x0) = 0 y existe f''(x0), entonces:
f''(x0) > 0 => f tiene un mínimo relativo en x0.
f''(x0) < 0 => f tiene un máximo relativo en x0.
Cálculo de máximos y mínimos relativos de una función f(x) en un intervalo [a, b]:
Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
Realizamos las segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de la derivada primera, y si:
f''(a) < 0 es un máximo relativo
f''(a) > 0 es un mínimo relativo
Se comprueba si el punto inicial del intervalo "a" y el punto final del mismo "b", son máximos o mínimos relativos.
Si hay algún punto de [a, b] en el que la función no sea derivable, aunque sí continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo.
Si f no es continua en algún punto x0 de [a, b], estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x0.
Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
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