Bloque 1

Bloque 1
Relaciones y funciones
Inecuaciones

Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o más incógnitas. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación de desigualdad.

Los signos de desigualdad que se utilizan en las inecuaciones son: $<$, $>$, $\le$ y $\ge$:

• a < b significa "a es menor estrictamente que b". Por ejemplo: 2 < 3.
• a > b significa "a es mayor estrictamente que b". Por ejemplo: 3 > 2.
• a ≤ b significa "a es menor o igualque b". Por ejemplo: 2 ≤ 2.
• a ≥ b significa "a es mayor o igual que b". Por ejemplo: 3 ≥ 2.

La solución de una inecuación es el valor o conjunto de valores que puede tomar la incógnita $x$ para que se cumpla la inecuación. A diferencia de las ecuación (cuyo signo es "="), no podemos saber de antemano el número de soluciones.

Puede darse el caso en que la solución es sólo un punto (por ejemplo, $x=2$), un intervalo (por ejemplo, $x\in [0,2]$), una unión de intervalos o que no exista ninguna solución.

Tipos de inecuaciones

Inecuación lineal: cuando las expresiones de ambos son polinomios de primer grado. lados

Ejemplo:

$$x+2\le 0$$

La solución de esta inecuación es el intervalo 

$(-\infty ,-2]$

.

Inecuación de segundo grado: cuando las expresiones de ambos lados son polinomios de grado menor o igual que 2.

Ejemplo:

$$x^2<0$$

Esta inecuación no tiene soluciones (reales) puesto que ningún número al cuadrado es negativo.

Inecuación racional: cuando las expresiones de uno o ambos lados son un cociente de polinomios.

Ejemplo:

$$\frac{2}{x}$$

$$\le 0$$

La solución de esta inecuación es 

$x\in (-\infty ,0)$

.

Inecuación con valor absoluto: cuando en las expresiones algebraicas hay valores absolutos.

Ejemplo:

$$|x|<0$$

Esta inecuación no tiene solución porque el módulo (valor absoluto) de un número es siempre mayor o igual que 0.

Problemas resueltos 

Inecuación 1

---

Solución

Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una ecuación:

Ahora, para aislar la incógnita tenemos que dividir la inecuación por su coeficiente, que es -24. Como este número es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al dividir:

Por tanto, la solución es un intervalo:

donde el corchete de la derecha indica que se incluye el extremo del intervalo (es donde se cumple la igualdad).

Inecuación 2

---

Solución

<Primero calculamos los valores para los que se cumple la igualdad. Para ello, cambiamos la desigualdad por una igualdad. De este modo tendremos una ecuación de segundo grado cuyas raíces determinan los extremos de los intervalos de las soluciones de la inecuación:

Situamos las raíces en la recta real y obtenemos 3 intervalos:

Escogemos un número al azar de cada intervalo (por ejemplo, 

$x=-2$

, 

$x=0$

 y 

$x=4$

) y comprobamos si para alguno de estos valores se cumple la inecuación. No importa cuál escogemos puesto que el signo de la inecuación se mantiene constante en cada intervalo.

Comprobamos:

Por tanto, la inecuación se verifica en dos de los intervalos:

donde los corchetes indican que los extremos de los intervalos están incluidos (es en ellos donde se da la igualdad de la inecuación).

Inecuación 3

---

Solución

Para que la fracción sea negativa (o cero), el signo del numerador y del denominador han de ser distintos (o el numerador 0).

Numerador: es una ecuación de segundo grado, pero por la forma en la que está escrita (factorizada) sabemos que las raíces son 1 y -1. Estudiamos el signo en los tres intervalos:

No olvidemos que 

$x$

 no puede valer 0 en el denominador (denominador nulo).

Mirando las rectas obtenemos los intervalos donde los signos son distintos:

Donde los corchetes indican que los extremos del intervalo están incluidos.

PROBLEMAS A RESOLVER 

Inecuación 1

Inecuación 2

Inecuación 3

Relaciones y funciones

Dominio y rango 

El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

(En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.)

Ejemplo 1:

Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E}. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D .

El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

Ejemplo 2:

El dominio de la función

f ( x ) = 1/ x

es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).

El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor dey excepto para y = 0.

Los dominios pueden también estar explícitamente especificados, si hay valores para los cuales la función pudiera estar definida, pero que no deseamos considerarlos por alguna razón.

Ejemplos

EJERCICIO 1: Determinar Dominio y Rango de  f(x) = X + 3 

Lo primero que hacemos es tabular valores de los pares ordenados x,y para representarlos
en el plano cartesiano:hora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los punots para obtener la gráfica de nuestra función.

                         

Como podemos ver, la gráfica es una línea recta. Este tipo de función se conoce como lineal y representa a los polinomios de grado 1. 

Dominio de la función

Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales (puede tomar cualquier valor negativo o positivo sin restricción alguna). 

Dom f(x) = R      o también puede expresarse Dom  f(x) = (– ∞ , + ∞ )

Rango de la función

El Rango será también todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre. 

Rango = (– ∞ , + ∞ ) 

EJERCICIO 2 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3
Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:
  

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

                          

Como podemos ver, la gráfica es una parábola. Este tipo de función se conoce como cuadrática y representa a los polinomios de grado 2. 


Dominio de la función
Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales (siempre tomará valores tanto negativos como positivos en el eje x). 

Dom f(x) = R 

Rango de la función

Note cómo la gráfica empieza a tomar valores en el eje y sólo a partir de un punto determinado. ¨Por lo tanto, en este caso, el rango ya no serán todos los reales. 

Para hallar el Rango, debemos determinar a partir de qué punto la función empieza a tomar valores en el eje y.Esto ocurre en el vértice de la función. 

El vértice  de una función cuadrática se define como (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a = (-(-2) / 2(1)) = 1.  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(1) = 12 - 2(1) – 3 = 1- 2 - 3 = - 4

Por lo tanto, el vértice está en el punto (1, - 4).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4. 

Rango = [– 4 , + ∞ ) 

* El paréntesis cerrado [ o ] significa que el valor está incluido en el intervalo.
* El paréntesis abierto ( o ]) significa que el valor no está incluido en el intervalo.

Ejercicios a resolver

EJERCICIO : Determinar Dominio y Rango de  f(x) = – x2 + 5x - 4

EJERCICIO  : Determinar Dominio y Rango de f(x) =  x3 – 6x2 + 8x

Regla de correspondencia 

La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. 

Tal como observaste en el manejo de las representaciones de las funciones. 

Explícitamente mediante el empleo de un diagrama sagital o tabla; también en la grafica y la relación matemática utilizada.

La clasificación que en principio nos resulta útil para asociar formas graficas con las analíticas, incorporando el conocimiento que tenemos acerca de ello, es agrupar las funciones según sus representaciones analíticas o ecuaciones que las define.

Graficación de funciones

Funciones especiales

Función constante

El caso especial: , con  es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante. En este caso,  en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.

Por ejemplo, si nosotros asignamos , la máquina siempre nos devolverá el valor . Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a . Por eso no los transforma.

Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de  no cambia:

Observa que la función no involucra a la literal , pues los valores que nos devolverá  no dependen de ninguna manera de los valores que nosotros le vayamos dando.

También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical () en . Esto es obvio, puesto que siempre es igual a , independientemente del valor del  que nosotros asignemos. En particular, cuando , . Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto 
vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=i62enz-zjrk

Función escalonada 

El caso especial: , con  es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante. En este caso,  en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.

Por ejemplo, si nosotros asignamos , la máquina siempre nos devolverá el valor . Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a . Por eso no los transforma.

Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de  no cambia:

Observa que la función no involucra a la literal , pues los valores que nos devolverá  no dependen de ninguna manera de los valores que nosotros le vayamos dando.

También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical () en . Esto es obvio, puesto que siempre es igual a , independientemente del valor del  que nosotros asignemos. En particular, cuando , . Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto 

video:

https://www.youtube.com/watch?v=YAwFFmn_olI

Función identidad

Una función de variable real, 

$f:A\to B$

, es una relación entre dos conjuntos 

$A$

 y 

$B$

 de los números reales que a cada número 

$x$

 de 

$A$

 le hace corresponder un único número de 

$B$

, denotado por 

$f\left(x\right)$

 y llamado imagen de 

$x$

 mediante 

$f$

.

De ahora en adelante, supondremos 

$f:A\to B$

, siendo 

$A$

 y 

$B$

 subconjuntos de los números reales 

$R$

. 

$A$

 es el dominio de 

$f$

 y 

$B$

 es su codominio.

Informalmente, la función inversa de 

$f$

 es la función 

$f^{-1}:B\to A$

 tal que dado un número 

$y$

 de 

$B$

, permite conocer el número 

$x$

 de 

$A$

 tal que 

$y=f\left(x\right)$

. Se escribe 

$f^{-1}\left(y\right)=x$

.

Ejemplo:

Si 

$f\left(x\right)=2x$

, su inversa es 

$f^{-1}\left(x\right)=x/2$

. Por ejemplo,

$$f^{-1}\left(8\right)=8/2=4$$

En efecto, la imagen de 4 es 8:

$$f\left(4\right)=2\cdot 4=8$$

https://www.youtube.com/watch?v=FWssI68knDU

Función valor absoluto

Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica .

La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |, está definida como

Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de x y encuentre algunas parejas ordenadas .

Grafique los puntos en una plano coordenado y unálos.

Observe que la gráfica es de la forma V.

(1) El vértice de la gráfica es (0, 0).

(2) El eje de simetria ( x = 0 o eje de las y ) es la recta que divide la gráfica en dos mitades congruentes.

(3) El dominio es el conjunto de todos los números reales.

4) El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que o iguales a 0. .

(5) La intercepción en x y la intercepción en yambas son 0.

video:
https://www.youtube.com/watch?v=DBRZAbwvuLM

Función inversa 

Función Inversa.Existen diferentes definiciones de función inversa, aunque el concepto matemático es el mismo. Para hallar la inversa de una función no se requiere de la utilización de la definición.

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Unicamente se usa como notación de la función inversa.

La inversa de un función cuando existe, es unica. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe. las gráficas de f y f−1 son simétricas respecto a la función identidad y = x.

Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la función f (x).

Procedimiento

1.Se asila x en la ecuación y = f(x).

2.Se intercambian x por y y viceversa para obtener y = f -1(y)

Funciones crecientes y decrecientes 

ya habíamos visto la definición de una función creciente y decreciente.

Para x2 > x1, entonces:

• Si f(x2) > f(x1) es creciente
• Si f(x2) < f(x1) es decreciente

Estrategia para determinar la Monotonía

1. Localizar los puntos en los que f'(x) = 0 (Puntos críticos) y los puntos en los que no existe la función (revisar el denominador) para determinar los intervalos
2. Toma valores de prueba entre los intervalos
3. Determina el signo de f'(x) para cada valor de prueba
4. Utiliza la definición de la primera derivada para determinar sí es creciente o decreciente

Criterio de la Primera Derivada

Luego de conocer los intervalos de monotonía, podemos conocer algo más: Máximos y Mínimos. Para esto:

1. Sí f'(x) va de negativa (-) a positiva (+) entonces existe un mínimo relativo
2. Sí f'(x) va de positiva (+) a negativa (-) entonces existe un máximo relativo
3. Sí f'(x) no cambia de signo en ambos lados entonces no es mínimo ni máximo

Estrategia para utilizar el Criterio de la Primera Derivada

1. Localizar los puntos en los que f'(x) = 0 (Puntos críticos) y los puntos en los que no existe la función (revisar el denominador) para determinar los intervalos
2. Toma valores de prueba entre los intervalos
3. Determina el signo de f'(x) para cada valor de prueba
4. Utiliza la definición de la primera derivada para determinar sí es creciente o decreciente
5. Utiliza la definición del criterio de la primera derivada

video

https://www.youtube.com/watch?v=TxRpKrQJsdw

Transformaciones graficas

Hay tres tipos de transformaciones isométricas de formas de 2 dimensiones: traslaciones, rotaciones, y reflejos. (Isométrico significa que la transformación no cambia el tamaño o la forma de la figura.) Un cuarto tipo de transformación, unadilación , no es isométrica: preserva la forma de la figura pero no su tamaño.

Traslaciones

Una traslación es un desplazamiento de una figura. Por ejemplo, en la figura siguiente, el triángulo ABC es trasladado 5 unidades a la izquierda y 3 unidades hacia arriba para obtener el triángulo imagenA'B'C' .

Rotaciones

Un segundo tipo de transformación es larotación . La figura siguiente muestra el triángulo ABC rotado 90° de acuerdo a las manecillas del reloj respecto del origen.

Reflejos

Un tercer tipo de transformación es elreflejo . La figura siguiente muestra el triángulo ABC reflejado a través de la recta y= x + 2.

Dilaciones

Una dilación es una transformación que preserva la forma y orientación de la figura, pero cambia su tamaño. El factor de escalade una dilación es el factor por el cual cada medida lineal de la figura (por ejemplo, una longitud de lado) es multiplicada.

La figura siguiente muestra una dilación con un factor de escala 2, centrada en el origen.

video:

https://www.youtube.com/watch?v=yLQKUfxXDjg

Composición de funciones

La composición de funciones es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x.

Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como:

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f)(x) primero actua la función f y luego la g sobre f(x).

Sean las funciones f y g tales que f(x)=x+1 y g(x)=x²+2. Calcularemos la función composición (g o f)(x).

Y tenemos que la composición de las funciones f y g es (g o f)(x) = x²+2x+3.

Propiedades de las funciones compuestas

La composición de funciones es asociativa

1. 
   Por ejemplo:
   
2. La composición de funciones no es conmutativa
   
   Por ejemplo:
   
3. El elemento neutro en las funciones compuestas es la función identidad (id).
   
4. El función inversa de la composición de funciones f y g es:
   

Dominio de la función composición

Sean Dom f el dominio de la función f y Dom g el de g, entonces el dominiode la función composición es:

video:

https://www.youtube.com/results?search_query=composicion+de+funciones