Bloque III

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FUNCIONES RACIONALES

Funciones racionales

Una función racional está definida como el cociente de polinomios en los cuales el denominador tiene un grado de por lo menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en el denominador.
La forma general de una función racional es , donde p ( x ) y q ( x ) son polinomios yq ( x ) ≠ 0.
Ejemplos: 
La función padre de una función racional es y la gráfica es una hipérbola .
El dominio y rango es el conjunto de todos los números reales excepto 0.
Valor excluído  
En una función racional, un valor excluído es cualquier valor de x que hace al valor de la función y no definido. Así, estos valores deben ser excluídos del dominio de la función.
Por ejemplo, el valor excluído de la función es –3. Esto es, cuando x = –3, el valor de y no esta definido.
Así, el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales excepto –3.

Ejemplo analizado 1:Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)
a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}
b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)
c) Cortes con los ejes:
  • Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0
  • Eje OY: f(0)=0 -> y=0
d) Regiones:
x(-¥,-1)(-1,0)(0,1)(1,+¥)
x3--++
x+1-+++
x-1---+
f(x)-+-+
e) Asíntotas:
  • Verticales: x=-1, x=1
  • Oblicuas: 
=1; =0 «y=x
f) Puntos singulares:
  • f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2
  • f'(x)=0 « x2(x2-3)=0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3
  • f(0)=0; f(-Ö3)=-3Ö3/2; f(Ö3)=3Ö3/2
  • f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3
  • f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo
  • f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo
  • f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión 
g) Puntos de Inflexión
  • f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3
  • f''(x)=0 « 2x3+6x=0 « 2x(x2+3)=0 « x=0. Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a  f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0:
En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño.
La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.
EjerciciosAnalizar las siguientes funciones racionales y representar su gráfica.
El programa al margen permite comprobar los resultados del análisis. Reemplazar las entradas editables f(x), a1(x), a2(x), a3(x) y a4(x) por las expresiones correspondientes a la función y hasta cuatro asíntotas posibles.

f(x)
Solución
1(x+1)/(2x2-x-1)
2(x3+x2)/(2x2+x)
3(x2-2x+2)/(x-1)
4 x/(x-2)2
5|x|/(x+1)
6(1-|x|)/(1+|x|)

video:
https://www.youtube.com/watch?v=4PWf27vLNQs
Asíntotas
Una asíntota es una recta que se acerca a la gráfica de la función, pero nunca la toca. En la función padre  , tanto los ejes x y yson asíntotas. La gráfica de la función padre se acercará más y más pero nunca tocará las asíntotas.
Una función racional de la forma tiene una asíntota vertical en el valor excluído, o x = b , y una asíntota horizontal en y = c .

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